Второй закон Ньютона - дифференциальный закон движения, описывающий взаимосвязь между приложенной к материальной точке силой и получающимся от этого ускорением этой точки. Фактически, второй закон Ньютона вводит массу как меру проявления инертности материальной точки в выбранной инерциальной системе отсчёта (ИСО).

Современная формулировка

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

При подходящем выборе единиц измерения, этот закон можно записать в виде формулы:

где: - ускорение материальной точки;

Сила, приложенная к материальной точке;

m - масса материальной точки.

Или в более известном виде:

В случае, когда масса материальной точки меняется со временем, второй закон Ньютона формулируется с использованием понятия импульс:

В инерциальной системе отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна равнодействующей всех приложенных к ней сил.

где: - импульс точки,

где: - скорость точки;

Производная импульса по времени.

Когда на тело действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции второй закон Ньютона записывается:

Второй закон Ньютона действителен только для скоростей, много меньших скорости света и в инерциальных системах отсчёта. Для скоростей, приближенных к скорости света, используются законы теории относительности.

Нельзя рассматривать частный случай (при ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Историческая формулировка

Исходная формулировка Ньютона:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

6.2. Масса и импульс.

1) И́мпульс (Количество движения) - векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этой точки на её скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

В более общем виде, справедливом также и в релятивистской механике, определение имеет вид:

Импульс - это аддитивный интеграл движения механической системы, связанный согласно теореме Нётер с фундаментальной симметрией - однородностью пространства.

2) Ма́сса (от греч. μάζα) - одна из важнейших физических величин. Первоначально (XVII-XIX века) она характеризовала «количество вещества» в физическом объекте, от которого, по представлениям того времени, зависели как способность объекта сопротивляться приложенной силе (инертность), так и гравитационные свойства - вес. Тесно связана с понятиями «энергия» и «импульс» (по современным представлениям - масса эквивалентна энергии покоя).

В современной физике понятие «количество вещества» имеет другой смысл, а концепцию «масса» можно трактовать несколькими способами:

Пассивная гравитационная масса показывает, с какой силой тело взаимодействует с внешними гравитационными полями - фактически эта масса положена в основу измерения массы взвешиванием в современной метрологии.

Активная гравитационная масса показывает, какое гравитационное поле создаёт само это тело - гравитационные массы фигурируют в законе всемирного тяготения.

Инертная масса характеризует меру инертности тел и фигурирует в одной из формулировок второго закона Ньютона. Если произвольная сила в инерциальной системе отсчёта одинаково ускоряет разные исходно неподвижные тела, этим телам приписывают одинаковую инертную массу.

Второй закон Ньютона - Произведение массы тела на ускорение равно силе действующей на тело.

Формула 1 - Второй закон Ньютона.

Второй закон Ньютона справедлив для инерциальных систем отсчета. Итак, о чем же говорит этот закон. Допустим, у нас есть тело обладающее массой. Это тело расположено на ровной поверхности. Скажем металлически шарик на поверхности стола. Шарик находится в состоянии покоя. Чтобы заставить двигаться шарик по поверхности стола к нему нужно приложить некоторую силу.

Рисунок 1 - Шарик на поверхности стола.

Силу нужно прикладывать непрерывно. То есть мы берем и рукой толкаем шарик, от одного края стола к другому. При этом она затрачивается на преодоление силы трения качения и, в общем случае, силы сопротивления воздуха. Но можно взять и толкнуть шарик. Он покатится самостоятельно к противоположному концу стола. Из-за чего это происходит, ведь нет руки, которая его толкает, а он продолжает свое движение. Откуда же берется сила для преодоления сил трения.

Так как наш шарик обладает массой, и мы находимся в инерциальной системе отсчета, то он обладает инертностью. Как известно из первого закона Ньютона, инертность тела препятствует изменению состояния покоя тела. Состояние покоя можно считать как неподвижное состояние, как в нашем случае, или прямолинейное равномерное движение.

Соответственно в момент толчка мы прикладываем силу, которая выводит шарик из состояния покоя. И он начинает двигаться по поверхности стола. Именно эта сила и расходуется на преодоление сил трения.

Рисунок 2 - Шарик, катящийся по столу.

В момент толчка, скорость шарика, изменяется от нулевой до определенного значения. Это изменение не может происходить мгновенно, в силу инертности шарика обладающего массой. На него затрачивается какое-то количество времени. А как мы знаем скорость изменения скорости это ускорение.

Формула 2 - Ускорение.

Если перефразировать второй закон Ньютона, то можно сказать что, ускорение тела зависит как от массы тела, так и от прилагаемой к нему силы. Вернемся к нашему шарику. Если он будет весить, скажем, 1 кг, то на его разгон руками потребуется небольшое усилие. Если же он будет весить 10 кг, то для его разгона придётся приложить усилия значительно больше.

Относительно которых материальные точки , когда на них не действуют никакие силы (или действуют силы взаимно уравновешенные), находятся в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Историческая формулировка

Современная формулировка

где p → = m v → {\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}} - импульс точки, v → {\displaystyle {\vec {v}}} - её скорость , а t {\displaystyle t} - время . При такой формулировке, как и при предшествующей, полагают, что масса материальной точки неизменна во времени .

Иногда предпринимаются попытки распространить сферу применения уравнения d p → d t = F → {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}} и на случай тел переменной массы. Однако, вместе с таким расширительным толкованием уравнения приходится существенным образом модифицировать принятые ранее определения и изменять смысл таких фундаментальных понятий, как материальная точка, импульс и сила .

Замечания

Когда на материальную точку действуют несколько сил, с учётом принципа суперпозиции , второй закон Ньютона записывается в виде:

m a → = ∑ i = 1 n F i → {\displaystyle m{\vec {a}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}} d p → d t = ∑ i = 1 n F i → . {\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum _{i=1}^{n}{\vec {F_{i}}}.}

Второй закон Ньютона, как и вся классическая механика, справедлив только для движения тел со скоростями, много меньшими скорости света . При движении тел со скоростями, близкими к скорости света, используется релятивистское обобщение второго закона , получаемое в рамках специальной теории относительности .

Следует учитывать, что нельзя рассматривать частный случай (при F → = 0 {\displaystyle {\vec {F}}=0} ) второго закона как эквивалент первого, так как первый закон постулирует существование ИСО, а второй формулируется уже в ИСО.

Историческая формулировка

Исходная формулировка Ньютона:

Третий закон Ньютона

Этот закон описывает, как взаимодействуют две материальные точки. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух материальных точек. Первая точка может действовать на вторую с некоторой силой , а вторая - на первую с силой . Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия F → 1 → 2 {\displaystyle {\vec {F}}_{1\to 2}} равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия F → 2 → 1 {\displaystyle {\vec {F}}_{2\to 1}} .

Третий закон Ньютона является следствием однородности , изотропности и зеркальной симметрии пространства .

Современная формулировка

Закон утверждает, что силы возникают лишь попарно, причём любая сила, действующая на тело, имеет источник происхождения в виде другого тела. Иначе говоря, сила всегда есть результат взаимодействия тел. Существование сил, возникших самостоятельно, без взаимодействующих тел, невозможно .

Историческая формулировка

Ньютон дал следующую формулировку закона :

Следствия законов Ньютона

Законы Ньютона являются аксиомами классической ньютоновской механики. Из них, как следствия, выводятся уравнения движения механических систем, а также «законы сохранения», указанные ниже. Разумеется, есть и законы (например, всемирного тяготения или Гука), не вытекающие из трёх постулатов Ньютона.

Уравнения движения

Уравнение F → = m a → {\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}} является дифференциальным уравнением : ускорение есть вторая производная от координаты по времени . Это значит, что эволюцию (перемещение) механической системы во времени можно однозначно определить, если задать её начальные координаты и начальные скорости.

Заметим, что если бы уравнения, описывающие наш мир, были бы уравнениями первого порядка, то из нашего мира исчезли бы такие явления, как инерция , колебания , волны .

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная , если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю .

Закон сохранения механической энергии

Законы Ньютона и силы инерции

Использование законов Ньютона предполагает задание некой ИСО. Однако, на практике приходится иметь дело и с неинерциальными системами отсчёта . В этих случаях, помимо сил, о которых идёт речь во втором и третьем законах Ньютона, в механике вводятся в рассмотрение так называемые силы инерции .

Обычно речь идёт о силах инерции двух различных типов . Сила первого типа (даламберова сила инерции ) представляет собой векторную величину, равную произведению массы материальной точки на её ускорение, взятое со знаком минус. Силы второго типа (эйлеровы силы инерции ) используются для получения формальной возможности записи уравнений движения тел в неинерциальных системах отсчёта в виде, совпадающем с видом второго закона Ньютона. По определению, эйлерова сила инерции равна произведению массы материальной точки на разность между значениями её ускорения в той неинерциальной системе отсчёта, для которой эта сила вводится, с одной стороны, и в какой-либо инерциальной системе отсчёта , с другой . Определяемые таким образом силы инерции силами в истинном смысле слова не являются , их называют фиктивными , кажущимися или псевдосилами .

Законы Ньютона в логике курса механики

Существуют методологически различные способы формулирования классической механики, то есть выбора её фундаментальных постулатов , на основе которых затем выводятся законы-следствия и уравнения движения. Придание законам Ньютона статуса аксиом, опирающихся на эмпирический материал, - только один из таких способов («ньютонова механика»). Этот подход принят в средней школе, а также в большинстве вузовских курсов общей физики.

Альтернативным подходом, использующимся преимущественно в курсах теоретической физики, выступает лагранжева механика . В рамках лагранжева формализма имеются одна-единственная формула (запись действия) и один-единственный постулат (тела движутся так, чтобы действие было стационарным) , являющийся теоретической концепцией. Из этого можно вывести все законы Ньютона, правда, только для лагранжевых систем (в частности, для консервативных систем). Следует, однако, отметить, что все известные фундаментальные взаимодействия описываются именно лагранжевыми системами. Более того, в рамках лагранжева формализма можно легко рассмотреть гипотетические ситуации, в которых действие имеет какой-либо другой вид. При этом уравнения движения станут уже непохожими на законы Ньютона, но сама классическая механика будет по-прежнему применима.

Исторический очерк

Практика применения машин в мануфактурной промышленности, строительство зданий, кораблестроение, использование артиллерии позволили ко времени Ньютона накопиться большому числу наблюдений над механическими процессами. Понятия инерции, силы, ускорения всё более прояснялись в течение XVII столетия. Работы Галилея , Борелли , Декарта , Гюйгенса по механике уже содержали все необходимые теоретические предпосылки для создания Ньютоном в механике логичной и последовательной системы определений и теорем .

Оригинальный текст (лат.)

LEX I
Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quantenus a viribus impressis cogitur statum illum mutare.

LEX II
Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.

Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive corporum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.

Русский перевод этих формулировок законов см. в предыдущих разделах.

Ньютон также дал строгие определения таких физических понятий, как количество движения (не вполне ясно использованное у Декарта ) и сила . Он ввёл в физику понятие массы как меры инертности тела и, одновременно, его гравитационных свойств (ранее физики пользовались понятием вес ).

В середине XVII века ещё не существовало современной техники дифференциального и интегрального исчисления . Соответствующий математический аппарат в 1680-е годы параллельно создавался самим Ньютоном (1642-1727), а также Лейбницем (1646-1716). Завершили математизацию основ механики Эйлер (1707-1783) и Лагранж (1736-1813).

Примечания

1. Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии. Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова / под ред. Полака Л. С.. - М. : Наука, 1989. - С. 40-41. - 690 с. - (Классики науки). - 5 000 экз. - ISBN 5-02-000747-1 .
2. Тарг С. М. Ньютона законы механики // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров . - М. : Большая российская энциклопедия, 1992. - Т. 3: Магнитоплазменный - Пойнтинга теорема. - С. 370. - 672 с. - 48 000 экз. - ISBN 5-85270-019-3 .
3. Инерция // Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров . - М. : Советская энциклопедия , 1990. - Т. 2. - С. 146. - 704 с. - ISBN 5-85270-061-4 .
4. Инерциальная система отсчёта // Физическая энциклопедия (в 5 томах) / Под редакцией акад. А. М. Прохорова . - М. : Советская Энциклопедия , 1988. - Т. 2. - С. 145. - ISBN 5-85270-034-7 .
5. «Дополнительной характеристикой (по сравнению с геометрическими характеристиками) материальной точки является скалярная величина m - масса материальной точки, которая, вообще говоря, может быть как постоянной, так и переменной величиной. … В классической ньютоновской механике материальная точка обычно моделируется геометрической точкой с присущей ей постоянной массой) являющейся мерой её инерции.» стр. 137 Седов Л. И. , Цыпкин А. Г. Основы макроскопических теорий гравитации и электромагнетизма. М: Наука, 1989.
6. Маркеев А. П. Теоретическая механика. - М. : ЧеРО, 1999. - С. 87. - 572 с. «Масса материальной точки считается постоянной величиной, не зависящей от обстоятельств движения».
7. Голубев Ю. Ф. Основы теоретической механики. - М. : МГУ, 2000. - С. 160. - 720 с. - ISBN 5-211-04244-1 . «Аксиома 3.3.1. Масса материальной точки сохраняет своё значение не только во времени, но и при любых взаимодействиях материальной точки с другими материальными точками независимо от их числа и от природы взаимодействий».
8. Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. - М. : Физматлит, 2001. - С. 9. - 319 с. - ISBN 5-95052-041-3 . «Масса [материальной точки] полагается постоянной, независящей ни от положения точки в пространстве, ни от времени».
9. Маркеев А. П. Теоретическая механика. - М. : ЧеРО, 1999. - С. 254. - 572 с. «…второй закон Ньютона справедлив только для точки постоянного состава. Динамика систем переменного состава требует особого рассмотрения».
10. «В ньютоновской механике… m=const и dp/dt=ma». Иродов И. Е. Основные законы механики. - М. : Высшая школа, 1985. - С. 41. - 248 с. .
11. Kleppner D., Kolenkow R. J. An Introduction to Mechanics . - McGraw-Hill, 1973. - P. 112. - ISBN 0-07-035048-5 . «For a particle in Newtonian mechanics, M is a constant and (d/dt)(Mv ) = M(dv /dt) = Ma ».

Расположим динамометр вертикально и к его крючку будем подвешивать различные тела. Растяжение пружины показывает, что на все тела со стороны Земли действует сила притяжения. Эта сила называется силой тяжести.

Подвесим на крючок динамометра сначала одно тело, а потом другое, изготовленное из того же материала, но имеющее в два раза больший объём. Опыт показывает, что на второе тело действует в два раза большая сила тяжести. Затем измерим силу тяжести, действующую на тела одинакового объёма, но изготовленные из разных материалов. Опыт показывает, что на тела одинакового объёма, сделанные из алюминия и стали, действуют неодинаковые силы тяжести. Следовательно, сила тяжести, действующая на тело, зависит не только от его объёма.

Физическую величину, которая полностью определяет значение силы притяжения тела к Земле, называется массой тела .

Физическая величина, которой прямо пропорциональна сила притяжения к Земле, называется массой тела.

За единицу измерения массы принята масса международного эталона килограмма. Эта единица измерения называется килограмм (1 кг).

Тело имеет массу 1 кг, если на него действует такая же сила тяжести, какая действует в том же месте наблюдения на международный эталон килограмма.

Хорошо известно, что под действием одинаковых сил разные тела могут приобретать различные ускорения. От чего же ещё, кроме значения действующей силы, зависит ускорение тела? Опыт показывает, что единственной характеристикой тела, от которой зависит ускорение при действии одинаковых сил, является масса тела.

При действии одинаковых сил ускорение ɑ ̴ 1/m.

По определению, сила пропорциональна ускорению тела. Следовательно, ускорение движения тела прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела. Это утверждение называется вторым законом Ньютона или вторым законом механики:

Используя второй закон Ньютона, можно решать три вида практических задач. Если известны значения силы F и массы m тела, то можно определить ускорение движения тела. При известных значениях массы тела и ускорения можно найти силу, вызывающую ускорение:

F = m ɑ

По известным значениям силы и ускорения можно найти массу тела:

m = F/ ɑ

Мы знаем, что под действием сил тела не могут мгновенно изменять своё состояние покоя или движения. Это свойство тел называется инертностью.

Из второго закона Ньютона следует, что разные тела под действием одинаковых сил движутся с различными ускорениями. Скорость тела изменяется тем медленнее, чем больше масса тела. Следовательно, масса является мерой инертности тела.

Таким образом, масса тела одновременно является мерой двух свойств тел: способности взаимодействовать с другими телами силами тяготения и мерой инертности тел.

Второй закон Ньютона выполняется только в инерциальных системах отсчёта.

Остались вопросы? Не знаете второй закон Ньютона?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.